Bisección, Línea bisectriz del segmento, Ángulo bisectriz, Bisectrices de los lados de un triángulo, Bisectrices de Área y perímetro bisectrices de un triángulo, Área y bisectrices diagonales de un paralelogramo

En geometría, bisección es la división de algo en dos partes iguales o congruentes, por lo general por una línea, que luego se llamó una bisectriz. La mayoría de las veces se consideran tipos de bisectrices son la bisectriz del segmento y la bisectriz de un ángulo.

En el espacio tridimensional, bisección se realiza por lo general por un plano, también llamado la bisectriz o plano bisectriz.

Línea bisectriz del segmento

Una bisectriz segmento de línea pasa por el punto medio del segmento. Particularmente importante es la mediatriz de un segmento, que, de acuerdo con su nombre, se encuentra con el segmento en ángulo recto. La mediatriz de un segmento también tiene la propiedad de que cada uno de sus puntos es equidistante de los extremos del segmento. Por lo tanto los límites del diagrama Voronoi consisten en segmentos de tales líneas o planos.

En la geometría clásica, la bisección es un simple compás y una regla, cuya posibilidad depende de la capacidad para dibujar círculos de radios iguales y diferentes centros. El segmento está dividido en dos por la elaboración de intersección círculos de igual radio, cuyos centros son los extremos del segmento y de modo que cada círculo pasa por un punto final. La línea determinada por los puntos de intersección de los dos círculos es la mediatriz del segmento, ya que atraviesa el segmento en su centro. Esta construcción se utiliza efectivamente en la construcción de una línea perpendicular a una recta dada en un momento dado: la elaboración de un círculo cuyo centro es arbitraria ese punto, se cruza la línea en dos puntos más, y la perpendicular a construirse es la bisectriz del segmento definido por estos dos puntos.

Teorema de estados de Brahmagupta que si un cuadrilátero cíclico es orthodiagonal, a continuación, la perpendicular a un lado desde el punto de intersección de las diagonales siempre disecciona el lado opuesto.

Ángulo bisectriz

Una bisectriz divide el ángulo en dos ángulos con medidas iguales. Un ángulo tiene un solo bisectriz. Cada punto de una bisectriz de ángulo es equidistante de los lados del ángulo.

La bisectriz interior de un ángulo es el segmento de línea, media línea, o línea que divide un ángulo de menos de 180 en dos ángulos iguales. La bisectriz exterior es la línea que divide el ángulo complementario, formado por uno de los lados que forman el ángulo original y la extensión de la otra parte, en dos ángulos iguales.

Para dividir en dos un ángulo con regla y compás, se traza un círculo cuyo centro es el vértice. El círculo se encuentra con el ángulo en dos puntos: uno en cada pierna. Utilizando cada uno de estos puntos como un centro, dibujar dos círculos del mismo tamaño. La intersección de los círculos determina una línea que es la bisectriz del ángulo.

La prueba de la corrección de estas dos construcciones es bastante intuitiva, basándose en la simetría del problema. Es interesante observar que la trisección de un ángulo no se puede lograr con el compás y la regla solo.

Bisectrices de los ángulos de un triángulo

Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo son concurrentes en un punto llamado el incentro del triángulo.

El teorema de la bisectriz de un ángulo se refiere a las longitudes relativas de los dos segmentos de ese lado de un triángulo está dividido en por una línea que divide en dos el ángulo opuesto. Se equipara sus longitudes relativas a las longitudes relativas de los otros dos lados del triángulo.

Longitudes

Si las longitudes de los lados de un triángulo son, el semiperímetro y A es el lado opuesto ángulo, entonces la longitud de la bisectriz interna del ángulo A es

Si la bisectriz interna del ángulo A en el triángulo ABC tiene longitud y si esta bisectriz divide el lado opuesto una en segmentos de longitudes m y n, entonces

donde b y c son las longitudes de los lados opuestos vértices B y C, y el lado opuesto a se divide en la proporción b: c.

Si las bisectrices de los ángulos internos A, B, y C tienen longitudes y, a continuación,

No hay dos triángulos no congruentes comparten el mismo conjunto de tres longitudes internas bisectriz de un ángulo.

Bisectrices de los ángulos de un rombo

Cada diagonal de un rombo biseca los ángulos opuestos.

Bisectrices de los lados de un triángulo

Medianas

Cada una de las tres medianas de un triángulo es un segmento de línea que va a través de un vértice y el punto medio del lado opuesto, por lo que biseca ese lado. Las tres medianas se cruzan entre sí en el centroide del triángulo, que es su centro de masa si tiene densidad uniforme, por lo que cualquier línea a través de centroide de un triángulo y uno de sus vértices biseca el lado opuesto. El centroide es dos veces tan cerca del punto medio de cualquiera de los lados, ya que es el vértice opuesto.

Mediatrices

La bisectriz perpendicular interior de un lado de un triángulo es el segmento, y caer por completo en el interior del triángulo, de la línea que biseca perpendicularmente ese lado. Las tres mediatrices de los tres lados de un triángulo se cortan en el circuncentro. Así, a través de cualquier línea circuncentro y perpendiculares de un triángulo a un lado divide ese lado.

En un triángulo agudo el circuncentro divide las mediatrices interiores de los dos lados más cortos en proporciones iguales. En un triángulo obtuso mediatrices los dos lados más cortos están divididas por sus respectivos lados del triángulo se cortan en partes iguales.

Bisectrices de Área y perímetro bisectrices de un triángulo

Hay una infinidad de líneas que dividen en dos el área de un triángulo. Tres de ellos son los medios del triángulo, y estos son concurrentes en el centro de gravedad del triángulo y, de hecho, son los únicos bisectrices zona que pasan por el centro de gravedad. Otros tres bisectrices zona son paralelos a los lados del triángulo, cada uno de ellos cruza las otras dos partes a fin de dividirlos en segmentos con las proporciones. Estas seis líneas son concurrentes tres a la vez: además de los tres medianas son concurrentes, cualquier medio es concurrente con dos de las bisectrices de la zona lateral-paralelas.

El sobre de la infinitud del bisectrices zona es una deltoides. Los vértices del deltoides son en los puntos medios de las medianas; todos los puntos dentro del deltoides son en tres bisectrices de área diferentes, mientras que todos los puntos fuera de ella son de una sola. Los lados de la deltoides son arcos de hipérbolas que son asintótica a los lados largos del triángulo.

Una cuchilla de un triángulo es un segmento de línea que divide en dos el perímetro del triángulo y tiene un punto final en el punto medio de uno de los tres lados. Las tres cuchillas están de acuerdo en el centro del círculo Spieker, que es la circunferencia inscrita del triángulo medial. Las cuchillas son paralelas a las bisectrices de los ángulos.

Un divisor de un triángulo es un segmento de línea que tiene un extremo en uno de los tres vértices del triángulo y la bisectriz del perímetro. Los tres divisores coinciden en el punto del triángulo Nagel.

Cualquier línea a través de un triángulo que divide tanto el área del triángulo y su perímetro en el medio pasa por incentro del triángulo. Hay ya sea uno, dos, o tres de éstos para cualquier triángulo dado. Una línea a través de la incentro biseca una de la zona o perímetro si y sólo si también biseca la otra.

Área y bisectrices diagonales de un paralelogramo

Cualquier línea que pasa por el punto medio de un paralelogramo divide la zona. Además, las diagonales de un paralelogramo bisecan.