Propiedad distributiva, Definición, Lógica proposicional, Ejemplos, Distributivity y redondeo, Distributivity en anillos, Las generalizaciones de distributiva

En álgebra abstracta y lógica distributiva es una propiedad de las operaciones binarias que generaliza la ley distributiva del álgebra elemental. En la lógica proposicional, la distribución se refiere a dos normas válidas de reemplazo. Las reglas permiten reformular conjunciones y disyunciones en pruebas lógicas.

Por ejemplo, en la aritmética:

 2 = 2 , pero/no es igual a .

En el lado izquierdo de la primera ecuación, el 2 multiplica la suma de 1 y 3; en el lado derecho, se multiplica el 1 y el 3 de forma individual, con los productos añadidos después. Debido a que estos dan la misma respuesta final, decimos que la multiplicación por 2 distribuye sobre la suma de 1 y 3 - Como nos podríamos haber puesto los números reales en lugar de 2, 1 y 3, y aún así hemos obtenido una verdadera ecuación, decir que la multiplicación de números reales distribuye sobre la suma de los números reales.

Definición

Dado un conjunto S y dos operadores binarios y en S, se dice que la operación

  • es izquierda-distributiva sobre si, dado cualquier elemento x, y, y z de S,

 x = ;

  • es correcto-distributiva sobre si, dada cualquier elemento x, y, z de S:

   x = ;

  • es distributiva sobre si es de izquierda y derecha-distributiva.

Observe que cuando es conmutativo, entonces las tres condiciones anteriores son lógicamente equivalentes.

Lógica proposicional

Regla de la sustitución

En la lógica proposicional veritativo-funcional estándar, distribución son dos normativa vigente de reemplazo. Las normas permiten una distribución de determinados conectores lógicos en expresiones lógicas en pruebas lógicas. Las reglas son:

y

donde "" es un símbolo que representa metalógico "puede ser sustituido en una prueba con".

Conectivas funcionales Verdad

Distributivity es una propiedad de algunos conectores lógicos de verdad-funcional de la lógica proposicional. Los siguientes equivalencias lógicas demuestran que distributiva es una propiedad de conectivas particulares. Los siguientes son tautologías veritativo-funcionales.

Distribución de conjunción sobre junto

Distribución de conjunción más de disyunción

Distribución de disyunción en conjunción

Distribución de disyunción más de disyunción

Distribución de implicación

Distribución de la implicación de más de equivalencia

Distribución de disyunción sobre equivalencia

Distribución Doble

Ejemplos

  • Multiplicación de números es distributiva sobre la suma de los números, para una amplia clase de diferentes tipos de números que van de números naturales a los números complejos y números cardinales.
  • Multiplicación de números ordinales, en cambio, es sólo la izquierda distributiva, no está bien-distributiva.
  • El producto vectorial es de izquierda y derecha-distributiva sobre la suma de vectores, aunque no conmutativa.
  • La multiplicación de matrices se distributiva sobre la suma de la matriz, aunque tampoco es conmutativa.
  • La unión de conjuntos es distributiva sobre la intersección, y la intersección es distributiva sobre la unión.
  • Disyunción lógica es distributiva sobre la conjunción lógica, y la conjunción es distributiva sobre la disyunción.
  • Para los números reales, la operación máxima es distributiva sobre la operación mínimo, y vice-versa: max = min y min = max.
  • Para enteros, el máximo común divisor es distributiva sobre el mínimo común múltiplo, y vice-versa: mcd = mcm y mcd mcm =.
  • Para los números reales, además distribuye sobre el funcionamiento máximo, y también sobre el funcionamiento mínimo: a max = max y min = min.
  • Distributivity y redondeo

    En la práctica, la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma puede parecer que está comprometida o perdida debido a las limitaciones de precisión aritmética. Por ejemplo, la identidad? ? ? =/3 aparece a fallar si la adición se lleva a cabo en aritmética decimal, sin embargo, si se utilizan muchos dígitos significativos, el cálculo tendrá como resultado una aproximación más cercana a los resultados correctos. Por ejemplo, si el cálculo aritmético toma la forma: 0.33333 0.33333 0.33333 0.99999 =? 1, este resultado es una aproximación más cercana que si se habían utilizado menos dígitos significativos. Aun cuando los números fraccionarios se pueden representar con exactitud en forma aritmética, se introducirán errores si esos valores aritméticos son redondeados o truncados. Por ejemplo, la compra de dos libros, cada uno con un precio de 14,99 antes de impuestos del 17,5%, en dos transacciones separadas en realidad salvar a 0.01, sobre la compra juntos: 14.991.175 = 17.61 al 0.01 más cercano, dando un gasto total de 35,22, pero 29.981.175 = 35,23 - Métodos como redondeo bancario pueden ayudar en algunos casos, ya que puede aumentar la precisión utilizado, pero en última instancia, algunos errores de cálculo son inevitables.

    Distributivity en anillos

    Distributivity se encuentra más comúnmente en los anillos, vallados distributivos.

    Anillo A tiene dos operaciones binarias, y uno de los requisitos de un anillo es de que * debe distribuir más de . La mayoría de los tipos de números y matrices forman anillos. Un enrejado es otro tipo de estructura algebraica con dos operaciones binarias? y?. Si cualquiera de estas operaciones distribuye sobre la otra, entonces? también debe distribuir de nuevo?, y la red se llama distributiva. Ver también el artículo sobre distributiva.

    Ejemplos 4 y 5 son álgebras Booleanas, que pueden interpretarse bien como un tipo especial de anillo o un tipo especial de retículo distributivo. Cada interpretación es responsable de distintas leyes distributivas en el álgebra de Boole. Ejemplos 6 y 7 son enrejados distributivos que no son álgebra de Boole.

    El fallo de una de las dos leyes distributivas trae unos cerca de los anillos y cerca de campos-en lugar de los anillos y los anillos de división, respectivamente. Las operaciones son por lo general configurado para tener la junta o cerca de campo cercano distributiva en el derecho, pero no a la izquierda.

    Anillos y enrejados distributivos son ambos tipos especiales de aparejos, ciertas generalizaciones de los anillos. Esos números en el ejemplo 1 que no forman anillos de al menos plataformas de formulario. Cercanas a las plataformas son una generalización mayor de equipos que son de izquierda distributiva, pero no haga distributiva; ejemplo 2 es casi un equipo de perforación.

    Las generalizaciones de distributiva

    En varias áreas de las matemáticas, se consideran las leyes distributivity generalizadas. Esto puede implicar el debilitamiento de las condiciones anteriores o la ampliación de las operaciones infinitary. Especialmente en la teoría de la orden se encuentra numerosas variantes importantes de distributiva, algunos de los cuales incluyen operaciones infinitary, tales como la ley distributiva infinita, mientras que otros están definidos en la presencia de sólo una operación binaria, tales como las definiciones de acuerdo y sus relaciones se dan en la distributiva artículo. Esto también incluye el concepto de una red completa de distribución.

    En la presencia de una relación de orden, también se puede debilitar las igualdades anteriores reemplazando = por cualquiera = o =. Naturalmente, esto dará lugar a conceptos significativos sólo en algunas situaciones. Una aplicación de este principio es el concepto de sub-distributiva, como se explica en el artículo sobre la aritmética intervalo.

    En la teoría de categorías, si y son mónadas en una categoría C, una ley distributiva SS '? S. S es una transformación natural? : S.s '? S '. S tal que es un mapa laxa de las mónadas S? S y es un mapa de las mónadas colax S '? S '. Esto es exactamente los datos necesarios para definir una estructura mónada en S 'S:. El mapa multiplicación es S' 's.s' S y la unidad de mapa es 'S.. ?. Véase: ley distributiva entre las mónadas.

    Una ley distributiva generalizada También se ha propuesto en el ámbito de la teoría de la información.